时间复杂度&空间复杂度

数据结构&算法
数据结构&算法

前言

一个算法的好坏，我们该如何衡量呢？在算法领域是用时间与空间来衡量的。

我们通常根据算法的复杂度来衡量一个程序设计。复杂度分为时间复杂度、空间复杂度，接下来我们就讨论下什么怎么计算时间复杂度与空间复杂度。

时间复杂度

​ 时间复杂度，一个方法或者程序重复执行计算的时间工作量。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，进而分析f(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。这里用”O”来表示数量级，给出算法的时间复杂度。

​ T(n)=O(f(n)) 简称推导大O阶法

​ 它表示随着问题规模的n的增大，算法的执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，这称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。而我们一般讨论的是最坏时间复杂度，这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，分析最坏的情况以估算算法指向时间的一个上界。

按增量递增复杂度排列时间从小到大依次是：

  • 常数阶 O(1)

    不管当n是多少，只运行2次，那么时间复杂度就是O(2),取为O(1)。这个算法的运行次数函数是f(n) = 2.根据我们推导的大O阶的方法，第一步就是把常数项2改为1,。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。 

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    def constantTime(): Unit ={
      //时间复杂度O(1)
      var sum = 0
      val n = 1000

      /*执行一次*/
      sum = (1 + n) * n / 2;
      /*执行一次*/
      sum = (1 + n) * n / 2;
      
      printf("%d",sum);
    }

  • 对数阶 O(log2n)

    由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2的x次方=n，得到x=log₂n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

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    def log2n(): Unit ={
      //时间复杂度O(log2n)
      var count = 1
      val n = 1000
      while(count < n){
        count *= 2
      }
    }

  • 线性阶 O(n)

    线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
    下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码必须要执行n次。

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    def n(): Unit ={
      //时间复杂度O(n)
      val n = 1000
      for (i <- 1 until n){
        printf("%d ",i);
      }
    }

  • 线性对数阶 O(n * log2n)

    下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，但是循环里面有又有一个对数阶O(log2n)，因为循环体中的代码必须要执行n * log2n次，即它的最终时间复杂度O(n * log2n)

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    def nlog2n(): Unit ={
      //时间复杂度O(n * log2n)
      val n = 1000
      for (i <- 1 until n){
        var count = 1
        while(count < n){
          count *= 2
          printf("%d ",i);
        }
      }
    }

  • 平方阶 O(n^2)

    两次循环，里面循环执行了n次，外层循环也执行了n次，所以时间复杂度为O(n^2),立方阶一样

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    def n2(): Unit ={
      //时间复杂度O(n^2)
      val n=10
      for (i <- 0 until n){
        for(j <- 0 until n){
          printf("%d", i)
        }
      }
    }

  • 立方阶 O(n^3)

    三次循环，里面循环执行了n次，外层循环也执行了n次，所以时间复杂度为O(n^3),立方阶一样

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    def n3(): Unit ={
      //时间复杂度O(n^3)
      val n=10
      for (i <- 0 to n){
        for(j <- 0 to n){
          for(k <- 0 to(n))
          printf("%d", i)
        }
      }
    }

空间复杂度

算法需要消耗的内存空间。即为S(n)=O(f(n));包括程序代码所占用的空间，输入数据所占用的空间和辅助变量所占用的空间这三个方面。计算和表达方式与时间复杂度类似，一般用复杂度的渐近性来表示。我们在写代码的时候，完全可以用空间来换取时间，比如说，数据库的索引，都是在元数据的基础上构建庞大的索引存储，已达到提供查询的效率，又或者数据库表设计冗余字段等都是已空间来换取时间到达目的。

关于O(1)的问题， O(1)是说数据规模和临时变量数目无关，并不是说仅仅定义一个临时变量。举例：无论数据规模多大，我都定义100个变量，这就叫做数据规模和临时变量数目无关。就是说空间复杂度是O(1)。

总结

代码示例地址

https://github.com/lishijia/algorithm/tree/master/src/main/scala/lishijia/algorithm

算法时间空间复杂度汇总

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